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关于三门问题的思考
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三门问题：讨论了几十年的经典段子。
题目大意：有三个门（或者箱子），其中仅有一个的里面是奖品。主持人知道奖品在哪个门（箱子）里，但是嘉宾不知道。
现在嘉宾选一个门（箱子）。然后主持人打开一扇没有奖品的门（箱子）。问，为了更高概率地中奖，嘉宾是应该坚持自己一开始选的那个门（箱子），还是换成剩下的那个？还是无所谓？哪种概率高？
我见：这和主持人是否已经打开了门（箱子）有关。
注意一点：一切的概率都是在某个时点的观点，而不考虑之前发生了什么。
场景一：
嘉宾茉儿用手指指了一下箱子A。这时嘉宾天草薰进屋了。
主持人茅台：你来得正好，你看这有3个箱子，其中一个里边有奖品；你是选B和C一起拿走呢，还是只选A？不管选哪边，只要中奖就是你的。
天草薰：那当然应该选两个的那边。
场景二：
嘉宾茉儿用手指指了一下箱子A。主持人茅台打开了箱子C，证明里面是空的，然后把箱子拿走了。这时嘉宾天草薰进屋了。
茅台：你来得正好，你看这有2个箱子，你是选A还是B？不管选哪边，只要中奖就是你的。
天草薰：……这有区别么？
题目大意：有三个门（或者箱子），其中仅有一个的里面是奖品。主持人知道奖品在哪个门（箱子）里，但是嘉宾不知道。
现在嘉宾选一个门（箱子）。然后主持人打开一扇没有奖品的门（箱子）。问，为了更高概率地中奖，嘉宾是应该坚持自己一开始选的那个门（箱子），还是换成剩下的那个？还是无所谓？哪种概率高？
我见：这和主持人是否已经打开了门（箱子）有关。
注意一点：一切的概率都是在某个时点的观点，而不考虑之前发生了什么。
场景一：
嘉宾茉儿用手指指了一下箱子A。这时嘉宾天草薰进屋了。
主持人茅台：你来得正好，你看这有3个箱子，其中一个里边有奖品；你是选B和C一起拿走呢，还是只选A？不管选哪边，只要中奖就是你的。
天草薰：那当然应该选两个的那边。
场景二：
嘉宾茉儿用手指指了一下箱子A。主持人茅台打开了箱子C，证明里面是空的，然后把箱子拿走了。这时嘉宾天草薰进屋了。
茅台：你来得正好，你看这有2个箱子，你是选A还是B？不管选哪边，只要中奖就是你的。
天草薰：……这有区别么？
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发表评论 评论 (3 个评论)
- 回复 金圭子
- 三门问题我以前好像在轩辕春秋（xycq.net）就讨论过，本质上两种意见的差异之处在于：主持人打开门的动作，是基于什么？更直接的说，1.主持人是随机打开一个门，2.还是一定打开的是空的门？大家总是下意识以为主持人是情况2，但讨论的时候又按照情况1来讨论（比如茅台你），这个才是大家对三门问题有争议的原因：
现在改一下题目，如果不介绍主持人是否知道门后情况，那我们就必须把知道和不知道当做一种情况考虑，那就有两种情况：
情况1：主持人是随机打开一个门，不知道门后的情况。那比如假设主持人一定打开的是嘉宾选的前一个箱子（比如嘉宾选A，就是打开C，不管C是不是有东西，或者说主持人不知道有没有东西）。
这时候的概率情况是：首先东西在ABC各1/3概率，而主持人现在打开的是C，而且C是空的，所以本质上是1/3概率在A，1/3概率在B（而还有1/3概率直接打开的是有的箱子，游戏玩不下去了）。这时候是否交换都一样（概率都是1/2）
换个解释：嘉宾选的那一个、前一个、后一个有东西的概率都是1/3，是前一个的话游戏直接结束，现在就是那一个（选中）和后一个各1/2。换不换都一样。
情况2：主持人是在知道了哪一个有东西的情况下故意打开的空的（如果有两个空就随机打开一个）。那现在嘉宾选A，实际有东西的可能是ABC各1/3，如果是B，那主持人打开C，换的话是选B，换合算；C同理也是换合算，而A当然是不换合算，这时候换和不换（合算）的概率才是1/3对2/3，换合算。
这个才是三门问题大家纠结的起因，现在按茅台你给的题目是“主持人知道奖品在哪个门（箱子）里，但是嘉宾不知道。”以及“然后主持人打开一扇没有奖品的门”，那如果没理解错误，应该是情况2，那我认为茅台你的理解是错误的。
- 回复 金圭子
- 刚刚想起来，当年三门问题最初大家还有一个理解，主要是第二句话没有明确主持人的这个动作是必做的还是选做的，就有点像当年“开心辞典”的王小丫，当然现在的年轻人可能不知道，王小丫当年有个习惯，如果你才答了一两题就错了，她会问你“你确定么”（就是问你换不换），而如果你一口气答对6、7个，然后还是对的（而且还有点犹豫的情况下），她又会问你“你确定么”，这个前者是为了节目时间不能太短后者是为了节目经费要节省（笑）——其实我一直觉得这个三门问题最初的提出我觉得就和王小丫有关，提出的时间也差不多（其实三门问题提了有好多年了）——而如果有这种前置条件下：比如主持人只在你答错后者答对的情况下才提出开空箱子（也就是说可能会没有主持人开箱子这个过程，这个是题意中没有说明白的地方），这当然概率就完全不一样了，不过我们现在是假定题目的意思就是情况2（主持人一定会开一个空的），所以不讨论情况3。
————————————————
而茅台你举的场景1和场景2，和题目本身意思完全不一样。场景1主持人没有任何参与（我的理解是按嘉宾1的选择划分为1/3和2/3），是正常的均分。而场景2是让嘉宾2选择“A或B”而不是“变或不变”，因为嘉宾2不知道嘉宾1的选择，所以选A代表不变还是选B代表不变，嘉宾2是不知道的。
类似的我可以写一个场景3：嘉宾茉儿用手指指了一下箱子A。主持人茅台又掏出两个更大的箱子，一个罩住箱子A，另一个罩住箱子B和C。然后嘉宾天草薰进屋了。
茅台：你来得正好，你看这有2个箱子，你是选A还是B？不管选哪边，只要中奖就是你的。
天草薰：……这有区别么？
那你认为有区别么？这个表面上是场景2，本质上却是场景1，所以可以看出在双方信息不均等的情况下，概率会有所变化（刚刚加上的情况3也说明了这个意思）。所以你举的例子和原题目的情况不相同。
因为原题目的主持人提供了信息，他告诉了C是空的，将1:1:1概率转化为1:2，当然结果就不一样了。
- 回复 金圭子
- 关于信息，我们还可以加上场景4或者场景5：
场景4：现在只有箱子A和B，嘉宾天草薰进屋。主持人茅台：你来得正好，你看这有2个箱子，其中一个里边有奖品？不管选哪边，只要中奖就是你的。
然后关掉麦克，偷偷跑到天草熏边上和他说：我和你关系不错，我刚刚帮你偷偷两个都看了一下，奖品在A里面。（而且众所周知茅台是爷们从不说谎）
天草薰：那当然选A。
场景5：现在还是只有箱子A和B，嘉宾天草薰进屋。主持人茅台：你来得正好，我刚刚帮你看了一下，奖品在A里面。
但是天草熏知道茅台有个习惯，他会在说话的时候扔个硬币，如果是正面他就说真话，如果是反面他就说假话（茅台：我有这么无聊么！）。不过刚刚扔硬币的时候不幸天草熏没看到他扔的是正面还是反面……
天草薰：我擦，这和不告诉我，直接让我两个选一个有神马区别啊……