各种著名的悖论及解答

jasonway

世间的悖论都是由于理解逻辑上的不严密或定义的不恰当造成的。
现在对于以下的一些流传许久的悖论，我特此做出解释。（题目转贴自 kaitokidd ); 的 《各种著名的悖論（zt)》一贴，对文字作了繁体转化成简体的处理。）

题目：

[QUOTE=kaitokidd]悖论是指某些奇特的推论。这些推论的假设和逻辑看似合理，但却带出明显地不可接受的结论。要正确处理这些悖论，便要指出它们的问题。这里我们列出一些著名的悖论和逻辑问题，让大家动动脑筋

1、亚基里斯和乌龟
一日亚基里斯和乌龟来一次赛跑，因为亚基里斯认为自己比乌龟快，所以他让乌龟少跑一段距离。他们的协议是亚基里斯会在某地点d 1开始起跑，而乌龟则会以较接近终点的地方d 2为起点。但试想想，当亚基里斯跑到d 2的时候，乌龟会跑到了另一地方d 3。亚基里斯追到d 3的时候，乌龟却已到了d 4。如此类推，每次亚基里斯跑到乌龟之前到过的地方，乌龟却已再向前跑了一段距离。这样看来，亚基里斯怎能追到乌龟呢？

2、沙丘悖论
沙粒堆在一起，聚少成多，堆成沙丘。例如十万粒沙堆在一起就成了沙丘。沙丘这样大，若随便拿走一粒沙，沙丘仍会存在，因为一粒沙实在微不足道。同样，从九万九千九百九十九粒沙组成的沙丘再拿走一粒沙，沙丘也不会因此消失。总而言之，从一个沙丘拿走一粒沙，沙丘会继续存在。但若真的如此，连续把沙粒一粒一粒拿走，直至剩下最后一粒沙，沙丘也继续存在。但一粒沙怎可以构成一个沙丘呢？

3、不自称的悖论
如果一个谓词不能应用于它自己身上，我们称之为「不自称」的。反之，我们则称为「自称」。例如，「由中文字所组成的」这个谓词便正是由中文字所组成，所以是个自称的谓词。「是个红色的水果」只可以形容水果，不可以形容自己，所以不自称。
那么「是不自称的」本身是不是不自称的？如果是，它不应用于自己身上，即是说它应用于自己身上。但如果不是，它应用于自己身上，亦即是说它不应用于自己身上。换言之，如果它应用于自己身上，它就不应用于自己身上了！

4、律师和徒弟
学生甲是某大律师的徒弟。当他还在受训的时候，他答应老师，说会在他完成训练、打胜了第一场官司后缴交学费。但毕业后学生甲却一直不接手任何官司，于是老师便决定控告他拖欠学费。
老师的论据是，如果老师自己打胜了这场官司，学生甲必要立即缴交学费；如果是学生甲打胜，甲便应该按照原本的协议缴交学费。所以无论如何学生都应交学费。
但甲的论据是，如果法庭判他胜利，他便不需缴交学费；如果是老师胜利，他自己便从来没有打胜过，所以根据协议他也不需缴交学费。
到底谁的论据有道理？

5、说谎的人
有人这样说：「我现在所讲这句话是假的。」
那么，这个人所讲的到底是真或是假的呢？若他所说的是真，则他便是在讲假话，亦即他所说的是假的了。但若他所说的是假，那么他说自己在讲假话，岂非正确？但一句说话又怎可能是既真又假的呢？也许有些人会认为他那句话既不真也不假，但如果他所讲的其实是不真不假，而他却说自己在讲假话，那么他不真的是在讲假话吗？

6、纽康姆悖论
试想想，在你面前有两个盒子，一个是透明的，有一万元在里头，另一个是不透光的，可能有一百万元在里头，也可能没有任何金钱。你有两个选择：你可以拿走不透明的盒子，又或两个盒子都拿走，而你拿的盒子里的所有钞票都是你的。
不过，有一个非常准确（接近100%准确）的预言家会在场预测你的选择。在你作出决定之前，他会先预测你的选择。如果他算出你会只拿走不透明盒子，他便会放一百万元进这个盒子。若他认为你会拿走两个盒子的话，他便会给你一个空的不透明盒子。
现在，他已作出了他的预测，安排了适当的盒子。从你的角度来看，不透明的盒子内有没有钞票，已成定局。拿走两个盒子，照道理会比拿一个得到多一万元。但绝大部份决定拿走两个盒子的人，却只得一万元，而非一百零一万元。你认为应如何理性地选择？

7、囚犯的两难
假设你和我犯了法，一起被收在监里，根据我们的律师：
如果我们一个人认罪一个人不认罪，认罪的那个便会获得释放，不认罪的就会被判监十年。
如果我们都认罪，每人都会囚七年。
如果我们都不认罪，就只会被判一年监。
假设我们两人都十分精明，亦觉得徒刑越短越好。现在，我和你被分开，无法沟通，各自要决定是否认罪。
我不知道你是否会认罪。不过若你认罪，我也应该认罪，因为这样便只会判监七年而非十年。如果你不认罪，我更应认罪，因为这样我便会获得释放。所以无论如何我都应该认罪。
但若你也这样推论，最后决定认罪，我们便要被判囚七年了。这比起两人都不认罪，判一年监，实在差得多了。何以理性的推论，引至这样的后果呢？

8、罗素悖论
我们惯常将东西、人物分入不同集合。例如2、16等便是双数集合的一份子。但大多数的集合本身并不是该集合的份子。双数集合内含2、16等数目，但集合本身并非一个双数，所以它不是自己的份子，正如几个国家所组成的联盟本身并不是一个国家一样。但「不是动物」所指的集合却是自己的一份子，因为集合包含铅笔、树等东西，那它自己自然不是动物。
好了，那么「不是自己份子」所指的集合，是否自己的份子？

9、突如其来的测验
突击测验究竟是否可能？有一个老师告诉她的学生，下星期会有突击测验。她的学生推断，测验的日期必不会是在星期五，因为如果到星期四测验还没有举行的话，那么所有学生都会知道测验会在星期五发生，所以这个测验也不能算是突击测验了。既然剔除了测验在星期五举行的可能性，以同样的理由，突击测验也不可能在星期四发生。如此类推，突击测验根本不可能。但到了下星期一，老师却真的来一个突击测验，所有学生都很惊讶，他们的推论那里出了问题？

10、剪自己的头发理发师
在某一个村庄有一个理发师，他只会替不会给自己剪发的人剪发。那么你说，他会不会剪自己的头发？


11、世上没有全能的上帝
照道理，「全能」是指有能力做到任何可能做到的事情。那么，一个全能的上帝能否造出一块祂自己不能举起的石头？如果可以，那便有一件事是上帝做不到的了，就是举起祂自己创造的那块石头。如果上帝造不到这样的一块石头，那上帝也不是全能的了，因为造一块自己举不起的石头，我们也可以做到。所以，世上没有全能的上帝。[/QUOTE]



















解释：

1、亞基里斯和烏龜。
这是小学生的题目了……当然，用极限可以顺着题目严格地证明。这是由于对极限没有恰当理解造成的悖论。

2、沙丘悖論
沙丘问题是由于将每次移走的沙子忽略了。移走1颗沙子对于沙丘可以忽略不计，但是许多次移走1颗沙子累计的效应是不可以忽略的。

3、不自稱的悖論
这里犯了循环定义的错误。循环定义就是用自身的性质定义自身的性质。打个比方，“文字是文字”这样一个句子就犯了循环定义的错误。这些循环定义在逻辑上是不合法的。

4、律師和徒弟
这里是由于没有对“应否缴学费是受协议影响还是受判决影响”下恰当的定义造成的悖论。理论点说就是没有定义两个原因对结果影响的优先权。
画个图辨明其中的逻辑关系：


老师打赢了官司┳→ 根据判决应交学费   ┯→ 应否缴学费？
              ┗→ 根据协议不应交学费 ┙


老师打输了官司┳→ 根据判决不应交学费 ┯→ 应否缴学费？
              ┗→ 根据协议应交学费   ┙

这样就能看出其中的逻辑关系了。

5、說謊的人
同样是循环定义的错误。

6、紐康姆悖論
这里与循环定义类似。
为什么说类似呢?因为题目把结果又作为原因（原因从结果中得来），这样就会导致第二次推出的结果与一开始的结果不同；这样如此反复，就会造成死循环。
就好比说，有“结果的数字就是原因中的数字乘以-1”这个句子。如果你把“1”作为原因，结果当然是“-1”。但是如果你再把“-1”再次代回去作为原因，结果必定变成“1”，当然会导致结果不同，造成死循环。

7、囚犯的兩難
这个同样是由于定义不严密导致的悖论——但是有了对最优解（就是最“好”的方法）的严密定义以后[参考决策论]，这个问题就不是悖论了。
在严密的定义中，必须考虑所有可能的情况才能作出最优解。简单地说就是在综合考虑了各项可能性以后，由于认罪的总可能损失比不认罪少，因此认罪才是科学的最优解。
当然，实际上“大家都要关7年”只是其中一种可能性实现了，这个并不影响之前的分析。正如你抛一个硬币，结果是正面，但是你并不能因此说抛硬币得到正面的概率是100%。

8、羅素悖論
这题与第六题情况相同。细想即明。

9、突如其來的測驗
这题在推理过程中出现了严重的错误。因为这些推论都是以“到星期四測驗還沒有舉行”“到星期五測驗還沒有舉行”……等等作为前提的——然而这些前提从一开始就是站不住脚的。

10、剪自己的頭髮理髮師
同样是第六题的情况。

11、世上沒有全能的上帝
这题同样是循环定义，只不过绕了一个圈而已。
这题没有直接定义自身，而是先用自身（上帝）定义另外一样东西（石头），最后再反过来定义自身。

后记:
打了NNNN久终于打完了。辛苦啊。。。。。。
不过最后我想说一句：
无论有多少“悖论”，只要你用科学的眼光分析，永远都是False的！%&226

世上没有东西是不能用科学和推理解释的。

P.S.我的推理或许有不完善之处，恳请各位看官指教！

冷月嘉儿

字好小。。
还都是引用的？？
我的眼睛痛啊…………寒

冷月嘉儿

%&205 第一个。。。刚不久前发过了

楼主，“解释”的意思是要我们都推理一遍答案么？

jasonway

啊、不是。我是想大家看了题目推理以后和我的解释对比而已……

工藤￥新一

我有一本数学悖论的书……我看了，答案八九不离十了……楼主也勤奋啊……佩服佩服……

jasonway

我想找一些有关[纯]逻辑推理的书，不知有何好推荐？