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日志

关于三门问题的思考

热度 1已有 1609 次阅读2014-5-19 21:59 | 三门, 概率

三门问题:讨论了几十年的经典段子。
题目大意:有三个门(或者箱子),其中仅有一个的里面是奖品。主持人知道奖品在哪个门(箱子)里,但是嘉宾不知道。
现在嘉宾选一个门(箱子)。然后主持人打开一扇没有奖品的门(箱子)。问,为了更高概率地中奖,嘉宾是应该坚持自己一开始选的那个门(箱子),还是换成剩下的那个?还是无所谓?哪种概率高?

我见:这和主持人是否已经打开了门(箱子)有关。
注意一点:一切的概率都是在某个时点的观点,而不考虑之前发生了什么。

场景一:
嘉宾茉儿用手指指了一下箱子A。这时嘉宾天草薰进屋了。
主持人茅台:你来得正好,你看这有3个箱子,其中一个里边有奖品;你是选B和C一起拿走呢,还是只选A?不管选哪边,只要中奖就是你的。
天草薰:那当然应该选两个的那边。

场景二:
嘉宾茉儿用手指指了一下箱子A。主持人茅台打开了箱子C,证明里面是空的,然后把箱子拿走了。这时嘉宾天草薰进屋了。
茅台:你来得正好,你看这有2个箱子,你是选A还是B?不管选哪边,只要中奖就是你的。
天草薰:……这有区别么?

发表评论 评论 (3 个评论)

回复 金圭子 2014-6-27 16:45
三门问题我以前好像在轩辕春秋(xycq.net)就讨论过,本质上两种意见的差异之处在于:主持人打开门的动作,是基于什么?更直接的说,1.主持人是随机打开一个门,2.还是一定打开的是空的门?大家总是下意识以为主持人是情况2,但讨论的时候又按照情况1来讨论(比如茅台你),这个才是大家对三门问题有争议的原因:
现在改一下题目,如果不介绍主持人是否知道门后情况,那我们就必须把知道和不知道当做一种情况考虑,那就有两种情况:
情况1:主持人是随机打开一个门,不知道门后的情况。那比如假设主持人一定打开的是嘉宾选的前一个箱子(比如嘉宾选A,就是打开C,不管C是不是有东西,或者说主持人不知道有没有东西)。
这时候的概率情况是:首先东西在ABC各1/3概率,而主持人现在打开的是C,而且C是空的,所以本质上是1/3概率在A,1/3概率在B(而还有1/3概率直接打开的是有的箱子,游戏玩不下去了)。这时候是否交换都一样(概率都是1/2)
换个解释:嘉宾选的那一个、前一个、后一个有东西的概率都是1/3,是前一个的话游戏直接结束,现在就是那一个(选中)和后一个各1/2。换不换都一样。

情况2:主持人是在知道了哪一个有东西的情况下故意打开的空的(如果有两个空就随机打开一个)。那现在嘉宾选A,实际有东西的可能是ABC各1/3,如果是B,那主持人打开C,换的话是选B,换合算;C同理也是换合算,而A当然是不换合算,这时候换和不换(合算)的概率才是1/3对2/3,换合算。

这个才是三门问题大家纠结的起因,现在按茅台你给的题目是“主持人知道奖品在哪个门(箱子)里,但是嘉宾不知道。”以及“然后主持人打开一扇没有奖品的门”,那如果没理解错误,应该是情况2,那我认为茅台你的理解是错误的。
回复 金圭子 2014-6-27 17:01
刚刚想起来,当年三门问题最初大家还有一个理解,主要是第二句话没有明确主持人的这个动作是必做的还是选做的,就有点像当年“开心辞典”的王小丫,当然现在的年轻人可能不知道,王小丫当年有个习惯,如果你才答了一两题就错了,她会问你“你确定么”(就是问你换不换),而如果你一口气答对6、7个,然后还是对的(而且还有点犹豫的情况下),她又会问你“你确定么”,这个前者是为了节目时间不能太短后者是为了节目经费要节省(笑)——其实我一直觉得这个三门问题最初的提出我觉得就和王小丫有关,提出的时间也差不多(其实三门问题提了有好多年了)——而如果有这种前置条件下:比如主持人只在你答错后者答对的情况下才提出开空箱子(也就是说可能会没有主持人开箱子这个过程,这个是题意中没有说明白的地方),这当然概率就完全不一样了,不过我们现在是假定题目的意思就是情况2(主持人一定会开一个空的),所以不讨论情况3。

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而茅台你举的场景1和场景2,和题目本身意思完全不一样。场景1主持人没有任何参与(我的理解是按嘉宾1的选择划分为1/3和2/3),是正常的均分。而场景2是让嘉宾2选择“A或B”而不是“变或不变”,因为嘉宾2不知道嘉宾1的选择,所以选A代表不变还是选B代表不变,嘉宾2是不知道的。
类似的我可以写一个场景3:嘉宾茉儿用手指指了一下箱子A。主持人茅台又掏出两个更大的箱子,一个罩住箱子A,另一个罩住箱子B和C。然后嘉宾天草薰进屋了。
茅台:你来得正好,你看这有2个箱子,你是选A还是B?不管选哪边,只要中奖就是你的。
天草薰:……这有区别么?

那你认为有区别么?这个表面上是场景2,本质上却是场景1,所以可以看出在双方信息不均等的情况下,概率会有所变化(刚刚加上的情况3也说明了这个意思)。所以你举的例子和原题目的情况不相同。
因为原题目的主持人提供了信息,他告诉了C是空的,将1:1:1概率转化为1:2,当然结果就不一样了。
回复 金圭子 2014-6-27 17:09
关于信息,我们还可以加上场景4或者场景5:
场景4:现在只有箱子A和B,嘉宾天草薰进屋。主持人茅台:你来得正好,你看这有2个箱子,其中一个里边有奖品?不管选哪边,只要中奖就是你的。
然后关掉麦克,偷偷跑到天草熏边上和他说:我和你关系不错,我刚刚帮你偷偷两个都看了一下,奖品在A里面。(而且众所周知茅台是爷们从不说谎)
天草薰:那当然选A。

场景5:现在还是只有箱子A和B,嘉宾天草薰进屋。主持人茅台:你来得正好,我刚刚帮你看了一下,奖品在A里面。
但是天草熏知道茅台有个习惯,他会在说话的时候扔个硬币,如果是正面他就说真话,如果是反面他就说假话(茅台:我有这么无聊么!)。不过刚刚扔硬币的时候不幸天草熏没看到他扔的是正面还是反面……
天草薰:我擦,这和不告诉我,直接让我两个选一个有神马区别啊……

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