小学生就可以证明的高等数学的概念，来试试看吧

竹林弥海砂

命题：一条直线上的点的数目，和任意长度的线段上的点的数目一样多。

如图：


任意长度线段（蓝色的那条），把它放在直线l上面。在线段上面画一个半圆弧m。

Step1. 蓝色线段上的点的数目和半圆弧m上面点的数目一样多：
           通过A-C这样的一一对应证得；
Step2. 直线l上的点的数目和半圆弧m上的点的数目一样多：
           通过O-A-B这样的一一对应证得；





问题：想一想看，怎么证明：一个任意长度线段上的点，和任意一个平面上的点一样多？

Mleaf

实在是不懂（摊手）

十三姨

等量代换么。。。把半弧换成半球，直线换成平面，平面平行与半球横截面。
用球心发出射线的方法可以证明平面上的点跟半球上的点一一对应，再把球面看成无数条半圆弧组成半球，每一条半圆弧上的点能跟直径一样长的线段一一对应上，就推出来了
不知道说清楚没有……

十三姨

其实。。。线段上有无数个点，直线上有无数个点，平面上有无数个点
无数个=无数个，所以线段上的点数量=平面上的点的数量

魔探心一

我要思考一下，楼主与“IC西瓜妹”的联系

竹林弥海砂

十三姨 发表于 2011-7-23 23:27
其实。。。线段上有无数个点，直线上有无数个点，平面上有无数个点
无数个=无数个，所以线段上的点数量=平 ...

有理数是无数个，无理数也是无数个

无理数的比有理数多

素为哀

自然数有无数个，偶数也有无数个，存在不是偶数的自然数，自然数和偶数一样多。

看得懂我的话的话，就能理解楼主的意思了。

hillchencgs

十三姨 发表于 2011-7-24 12:27
其实。。。线段上有无数个点，直线上有无数个点，平面上有无数个点
无数个=无数个，所以线段上的点数量=平 ...

无穷是个极限，不能简单的等的。。。。。。
比如x,x^2当x趋近于无穷时，都是无限大，但是显然想x^2大

茅台

直线和线段的证明存在问题，这个证明中没有说明线段的端点的对应元素，换言之这步证明只证明了线段的点数≥直线的点数
反方向的不等式是因为该线段是该直线的子集，所以线段的点数≤直线的点数，两者结合才是结论。

九翼天使

虽然在高数中直接一句话“都是连续统的势”就搞定了，不过初等数学嘛……

jessiecoco

呃，大家都这么强啊，我的数学好像自从高中开始就没及格过，完全看不懂

28ice

这个···小学生真的能证得出来吗？

九翼天使

抽象化的话，可以这样：
(-∞, +∞)和(-1, 1)之间可以建立连续的一一映射（十分容易，如正切函数）
[-1, 1]和(-1, 1)之间的一一映射可以如下构造：
f: [-1, 1] -> (-1, 1)
       x     |->    x/2,     if |x|=1/2^n, n≥0
       x     |->     x,       otherwise.
亦即，f(±1)=±1/2, f(±1/2)=±1/4, 类推。
容易看出f是双射，不连续。

笨笨小q

呃，这是高数题吗？两年没碰了

lemeilleur

话说这个不可数集，数目有意义吗？

daat1928

完全不知道 我只会九九乘法表了