挖坟老题：天平找球

locationiskey

记得看到这题是在门萨题里……

好像看错题了，这里是天平？

茅台

果然是骨灰级的了，老爸传给我的书里就有这道题……
如果必须给出这个球是重了还是轻了，那么最多可以从12个球里找；否则，可以从13个球里找。

茅台

答：首先将这些小球编号为1-12。

第一次称：左边放1234，右边放5678。可分为3种情况。

第一种——平衡。1234=5678
这说明1-8号全是正品，而次品在9-12号之中。

第二次称：
左边放123，右边放9-11。又可分三种情况：

　　1.1——平衡。123=9 10 11
　　这说明9-11号也是正品，所以次品就是12号。
　　第三次称：将任意一个正品和12号进行比较，从而得出12号是轻还是重。
　　按：如果这道题只需要找出次品而不需要知道其具体轻重，则本题可以加强为13个小球找次品。最后一步的结论是如果平衡，13号为次品；否则12号为次品。

　　1.2——左边重。123>9 10 11
　　这说明次品一定在9-11号里，且次品一定是较轻的。
　　第三次称：左边放9号，右边放10号进行比较。如果平衡，则11号是次品；如果不平衡，则轻的那个是次品。

　　1.3——右边重。123<9 10 11
　　说明次品在9-11号里并且较重。
　　第三次称：左边放9号，右边放10号进行比较。如果平衡，则11号是次品；如果不平衡，则重的那个是次品。

以上为第一次称的第一种情况：平衡。

第二种——左边重。1234>5678
这说明次品一定在1-8号之中，而9-12(13)号全为正品。

第二次称：将4号和5号交换，并将678取下，改放9-11。亦即，左边放1235，右边放4, 9, 10, 11。
如果次品在123里，那么这次变动的全是正品，从而称量结果不应改变（左边重）；如果次品在45里，那么由于交换了45，称量结果应该相反（右边重）；如果次品在678里，那么这次称的全是正品，应该平衡。　　所以，根据第二次称的结果，可分三种情况：

　　2.1——平衡。1235=4 9 10 11
　　这说明次品一定在678里，并且次品较轻。
　　第三次称：将6号和7号进行比较。如果平衡，则8号是次品；如果不平衡，则轻的那个是次品。

　　2.2——左边重。1235>4 9 10 11
　　说明次品在123里，并且次品较重。
　　第三次称：将1号和2号进行比较。如果平衡，则3号是次品；如果不平衡，则重的那个是次品。

　　2.3——右边重。1235>4 9 10 11
　　说明次品在4和5里，其他的全是正品。
　　第三次称：将4号和任一个正品进行比较。如果平衡，则5号是次品且较轻；如果不平衡，则4号是次品且较重。不可能出现4号是次品且较轻的情况（否则一开始就是右边重）。

以上为左边重的情况。

第三种——右边重。1234<5678
其解决办法和左边重完全一样，只是叙述时左右相反。可以类比解决。


缩水版的1-10号找次品：因为没有11号了，改用以下办法：
第一次称：123 - 456
├ 123 = 456：次品在7890中。将3456换为7389再称。
│　　├ 127 = 389：次品就是0号，第三次比较01即可
│　　└ 127!= 389：次品在789中，第三次比较89即可
├ 123 > 456：次品在1-6中。换成124 - 378再称。
│　　├ 124 = 378：次品在56之中并且较轻，第三次比较56即可。
│　　├ 124 > 378：次品在12之中并且较重。第三次比较12即可。
│　　└ 124 < 378：次品在34之中。第三次比较3和任一正品。
└ 123 < 456：类似。