【看文答题】KID的地府（321楼活动后记）

萌侦探柯南

好吧，本来呢，我确实是想把类似“KID可能是怪盗”的命题设为非错的，因为这个是由强命题推出的弱命题，但是“不一定”这个词的确有歧义，如果理解为“有可能”，那么2就是对的，而8是错的，如果理解为“不”“一定”，那么8就是对的，而2是错的，基于这样的歧义，还是按照大多数人的意见好了，23478有逻辑错误，最先答出来的IceButterfly获得10CB的奖励。

[ 本帖最后由 萌侦探柯南 于 2009-4-2 11:27 编辑 ]

delia7

泪流满面……

慕容飞羽

话说怎么没有新谜题了，这帖要沉下去了。

萌侦探柯南

在摆脱了10个唐僧的纠缠之后，大家来轻松一下，做一道简单的口算题吧，第12题更新。

khangnin

[4 - (8/6)] x 9 = 24

delia7

于是……我又来晚了……
LZ我恨你~
我等你出谜题的时候你不见踪影~
我难得有一天没有开电脑你就狂出谜题~

萌侦探柯南

原帖由 delia7 于 2009-4-4 11:28 发表
于是……我又来晚了……
LZ我恨你~
我等你出谜题的时候你不见踪影~
我难得有一天没有开电脑你就狂出谜题~

真是不好意思，这两题相对简单，也是调动一下大家参与的积极性嘛。
再说你这么强，总会有机会的啊，呵呵。

delia7

于是……
你这几句赞美是属于……
额……
安慰奖？

萌侦探柯南

好吧，那就再更新一题。

delia7

花卡卡卡~
你真好~
对了，怎么称呼？我是花花~

[ 本帖最后由 delia7 于 2009-4-4 15:25 编辑 ]

delia7

于是……
答案如下：
既然甲虫都是在追赶前一甲虫，那么实际上也就是每只甲虫与直接追赶的甲虫距离匀速缩短，直到追上。
在此期间，每只甲虫走过的距离都是1.5米，0.1米/分钟。所以相遇是在正方形的中央，时间是15分钟。

至于用不均匀的绳子烧出15分钟，我认为至少需要有2根绳子。
1.A绳2端同时点燃。B绳只点燃一端。
2.A绳燃尽，此时点燃B绳。
3.从A绳燃尽到B绳燃尽，中间的时间是15分钟。

1根绳子……
难道是2端点燃，中间再点燃？
然后一直保持这根绳子有4个燃点……
那么绳子燃尽，15分钟。

慕容飞羽

原帖由 delia7 于 2009-4-4 15:07 发表
在此期间，每只甲虫走过的距离都是1.5米，0.1米/分钟。所以相遇是在正方形的中央，时间是15分钟。

在正方形中间相遇没问题，为什么每只甲虫走过的距离都是1.5米，它们的路径应该是4条螺旋线吧？

[ 本帖最后由 慕容飞羽 于 2009-4-4 17:31 编辑 ]

delia7

螺旋形没错~
如果是走直线到中心点的话，那路线就不是1.5米了~

但是4只虫子都走的是同样路线啊~
也就是说这4只虫子永远构成正方形……
这个正方形的边长从1.5米一直减少直到0。
换句话说，每只虫子都是追上了1.5米的距离。

慕容飞羽

是追上了1.5米，但是前一只虫子也在前进啊，这1.5米时两只虫子之间的相对距离变化。每只爬行的绝对距离也是1.5米吗？

慕容飞羽

我舅舅是数学老师，他说楼上的是正解，但是怎么算的忘了。
我知道用微积分可以算，但很麻烦。不知道简便的方法是什么。

慕容飞羽

具体求解过程   
   
  　　　　　   B↑y   
  　　　　　／｜＼   
  　　　　／　│　＼   
  　   C　／　　│　　＼　A   
  　　────┼────→x   
  　　　＼　   O│　　／   
  　　　　＼　│　／   
  　　　　　＼｜／   
  　　　　　　│D   
   
  如图建立平面直角坐标系   
  A,   B,   C,   D   分别表示四只虫所处的位置.   
  则初始   A(0.75*sqrt(2),   0),   B(0,   0.75*sqrt(2)),   C(-0.75*sqrt(2),   0),   D(0,   -0.75*sqrt(2))   
  现对A进行分析.   
  设在时刻t时,   虫A所处于的位置为(x(t),   y(t))   
  则由于四只虫运动是对称的,   所以可以得到B的位置为   (-y(t),   x(t))   
  AB直线斜率为   (y-x)/(x+y)   
  而此直线正是A所行进曲线在(x,y)点的切线   
  (速度方向,   即位移导数的方向,   所以是位移曲线的切线方向).   
  所以得到微分方程   
   
  dy/dx   =   (y-x)/(x+y)   .........(1)   
  初始条件:   y(0.75*sqrt(2))   =   0   
   
  解以上微分方程得   
   
  sqrt(1   +   y^2/x^2)   *   e^arctg(y/x)   =   0.75  *   sqrt(2)/x     .........(2)   
   
  令x   =   rcosθ,   y   =   rsinθ,   (2)式可化简为:   
          secθ   *   e^θ   =   0.75   *   sqrt(2)/(r   *   cosθ)   
  整理可得     
          r   =   0.75   *   sqrt(2)   *   e^(-θ)   
  令r=0,   得   θ→∞,   所以,   虫的运行曲线方程为   
          r   =   0.75   *   sqrt(2)   *   e^(-θ)     (θ≥0)         .........(3)   
   
  现在求(3)式曲线的长度.   
   
  s   =   ∫sqrt(r^2   +   (dr/dθ)^2)   dθ   (积分限   0   ~   ∞,   广义积分)   
   
  dr/dθ   =   -0.75*sqrt(2)e^(-θ)   =   -r   
  ∴   s   =   ∫1.5*e^(-θ)   dθ   (积分限0→∞)   
   
  计算可得,   s=1.5   
   
  所以时间   t   =   s/v   =1.5/0.1   =   15(s)

另

这个问题可以简单化也可复杂化。   
   
  简单化：可单独考察指定的任意两相邻对象，它们相遇时间=初始距离/距离缩小率；至于轨迹等均无须考虑。（你甚至可以再捉两只虫来，让它们在一个正六边形上依次“追尾”进行验证）   
   
  复杂化：建立微分方程，由初始条件得到轨迹方程，然后再。。。（但得到的结果必与上述方法一致！）

PS：本题原题为

4只蜗牛在边长为100cm的正方形的四个顶角上同时以1cm/秒的速度按逆时针方向向下一个角上的蜗牛爬行。它们将何时可相遇？

PS2：此题可以推广到N边形，当N越大时，向中心靠拢的速度越慢。当N→∞时，即趋向圆时，将永远在圆上运动，不会向内。
以上解答都是网上找到的，算是帮忙给个完整的解释吧。

[ 本帖最后由 慕容飞羽 于 2009-4-4 22:05 编辑 ]

藤光·习翼

老天！微积分！

萌侦探柯南

13题分为两个部分：

第一部分的严格解法已经由176楼的慕容飞羽给出，需要用到微积分的知识。但事实上由于此题不需要求解运动的曲线，所以是有巧解的，考虑到对称性，四只爬虫在每一时刻的速度方向都与相邻的爬虫垂直（如下图所示），因此两只相邻的爬虫在距离方向上的速度分量恒定为0.1米/分钟，变换到任一爬虫的坐标系内，可以知道在它逆时针方向的第一只爬虫与它的相对速度始终为0.1米/分钟，由于初始的距离为1.5米，所以相遇的时间为1.5/0.1=15分钟。如果将题中的正方形改为正六边形，答案又会是怎样呢，有兴趣的话，大家可以想想，注意相对速度的计算。


第二部分是用一条可以烧一个小时不均匀的绳子确定15分钟的时间，如果是确定半个小时比较好办，在两头同时点燃就可以了，要确定15分钟的时间，就必须保证在任一时刻，绳子上都要有四个燃点，也就是说先在绳子的两头和中间同时点燃，一旦发现其中一段燃尽，则立刻点燃另一段的中点，以此类推，直到整根绳子全部燃尽为止。

本题由171楼的delia7答对，奖励10CB。

更新第14题。

[ 本帖最后由 萌侦探柯南 于 2009-4-7 06:39 编辑 ]

delia7

先说一下上一题，保持4个燃点是非常理想化的状态，比如：1根烧尽……另一根烧剩一点点呢~

然后回答下一题：
这个简单，只要从这个桌子上随便拿起20个棋子，翻过来放到空桌上就可以了

delia7

由于不能修改，在这里做说明
随便拿起20个棋子，假设其中红色为n个，那么黑色为20-n个~
于是，原桌子上红色剩余20-n个~
翻过来放在空桌上，那么原本是黑色的20-n个变成红色，黑色为n个~
这样~两边桌子的红棋子都是20-n个~
那么……不管n等于几，这个等式20-n=20-n永远成立~
即~两边桌面的红棋子数相等