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发表于 2004-7-21 17:13:37
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关于Aquavit的题~(部分)证明
本证明仅考虑地图的摆放方向与实际地理方向相同的情况。
将地理坐标的东西向和南北向分开考虑,不妨先考虑东西向,如图所示。
设:加利福尼亚州的东西向长度为L;
地图中加州东西向长度为l;
实际东西向长度的端点在横轴上为(a,0), (b,0),b-a=L;
地图中东西向长度的端点在横轴上为(c,0), (d,0),d-c=l;
由于伯克利位于加州境内,故有点集[c,d]属于[a,b],即线段cd在线段ab上;
构造[a,b]上的函数f(x),使得在横轴上任取一坐标x,有函数值f(x)=ax/ab=ax/L;
以同样机理构造[c,d]上的函数g(x);
由于地图绘制中会将三维曲面进行拉伸、扭曲;故f(x),g(x)不一定是线性的,但一定是连续的;
从直观上看,两条函数曲线必然有一交点M,此点在实际中和地图上分别对应坐标a+Xm·L和c+Xm·l(两者相等),其中Xm为M的横坐标,此横坐标即为地图与实际重合一点的横坐标;
以理论上看,由于f,g为连续函数,根据介值定理,交点M必然存在;
同理可证明南北向同样存在重合的纵坐标a+Ym·L。
综合以上两个值即可得到地图与实际重合点的地理坐标,这一点是确实存在的。 |
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